Problème n°18 : Les nombres jumeaux et le principe des tiroirs

Enoncé du Problème n ° 18

• Expérience :

• Prendre au hasard 12 nombres entiers entre 1 et 99.
• Vérifier que l’on peut trouver deux de ces nombres tels que leur différence (le plus grand diminué du plus petit) soit un nombre jumeaux, c'est-à-dire un nombre à deux chiffres identiques (comme 11, 22, 33 etc.)

• Explication :

• En appliquant le principe des tiroirs (voir point info), montrer que parmi 12 nombres entiers naturels distincts, il en existe toujours deux qui ont le même reste dans la division par 11.
• Que dire de leur différence ? Conclure.

Indication :

penser à définir ce qu’on apellera « les tiroirs » et ce que seront « les objets » à ranger dans les tiroirs.

Point info :

« Lorsqu’on range des objets dans des tiroirs et que l’on a plus d’objets que de tiroirs, alors il y a un tiroir qui contient au moins deux objets ».
Cet énoncé (évident) porte le nom de « principe des tiroirs » ou « principe de Dirichlet », du nom du célèbre mathématicien allemand du XIXe siècle, Pierre Lejeune Dirichlet.
D’apparence simpliste, cette proposition se révèle un outil puissant dans de nombreux domaines : arithmétique, dénombrement, vie sociale (tour de cartes)…

Auteur : Lionel DARIE