Notons $a$ le chiffre des dizaines et $b$ le chiffre des unités.
Le nombre $N$ cherché est donc $N=10a+b$.
- Quand on additionne mes deux chiffres, on trouve ma moitié.
$$a+b=\dfrac{10a+b}{2}$$
$$\begin{array}{rl}
a+b=\dfrac{10a+b}{2} & \iff 2(a+b)=10a+b\\
& \iff 2a+2b= 10a+b\\
&\iff b=8a
\end{array}$$
-
Quand on permutte mes deux chiffres, on trouve le carré de ma moitié.
En permutant les chiffres, le nombre devient $ba$, soit $10b+a$.Ainsi :
$$10b+a= \left( \dfrac{10a+b}{2}\right)^2$$
$$\begin{array}{rl}
10b+a= \left( \dfrac{10a+b}{2}\right)^2 & \iff 10b+a=\dfrac{(10a+b)^2}{4}\\
& \iff 4(10b+a)=(10a+b)^2\\
&\iff 40b+4a=100a^2+20ab+b^2\\
&\iff 100 a^2+20ab+b^2-40b-4a=0\\
&\iff 100a^2+20a\times 8a+(8a)^2-40\times 8a-4a=0\\
&\iff 100a^2+160a^2+64a^2-320a-4a=0\\
&\iff 324a^2-324a=0\\
&\iff 324a(a-1)=0\\
&\iff a= 0\text{ ou } a=1
\end{array}$$
$a=0$ donne $b=0$ ainsi $N=0$, nombre qui n'a pas deux chiffres. Il est donc rejeté.
$a=1$ donne $b=8a=8$ ainsi $N=10a+b=18$.
Conclusion: le problème a une seule solution $N=18$.